數列單調收斂之定理

凡單調遞增數列之有上界者與單調遞減數列之有下界者、皆收斂．請證明之．

極限

若夫極限者、古希臘之先賢始用之．自古及 Weierstrass

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图 1 Karl Weierstrass, 1815-1897

之議、歷久而鮮能盡其理實也．微分與無窮小之辯、相爭其存廢逾千載猶未能決．其或爲 0、或幾及 0 而非 0．時 0 而時亦非 0、George Berkeley 之屬者甚異之．物理學家屢以無窮小正定所求不爽、故不以爲謬也．數學之理也、必明必晰．然則應先辯明所謂極限者、後可以確然治分析無慮也．

定義 1.
（極限）

稱數列 {𝑎𝑛} 之極限曰

lim𝑛→∞𝑎𝑛=𝐿⇔(∀𝜀>0)(∃𝑁∈ℕ∗)(∀𝑛>𝑁)|𝑎𝑛−𝐿|<𝜀
(1)

極限者近而不逮、傍而未屆也．𝑎𝑛 之值將屆於 𝐿 、抑不之至．不得知也．若以 𝜀−𝑁 定義議之．恣取正數 𝜀、不論大小、必存一處 𝑁、凡 𝑛 之後於 𝑁 者、𝑎𝑛 與 𝐿 相距幾微．何以知其然也? 蓋其相距小於 𝜀 者也．凡正數者、皆見小於 𝑎𝑛 與 𝐿 之相距、此所以度量其近也．豈非因 𝑛 之漸長而 𝑎𝑛 幾及於 𝐿 耶？！此定義也、初立論時、不納者眾、至于今世、莫不是之！

單調有界性之定理

數列之收斂者、其極限必存焉．以單調有界性之定理得知其收斂而不得知其極限也．欲察極限幾何、猶須探其值而後驗以定義也．幸有各術如下以索數列之極限、一曰夾逼定理、二曰四則運算、三曰 Stolz-Cesàro 定理也．

夾逼定理

夾逼定理者、求極限之要術也．設有數列 {𝑎𝑛}、{𝑏𝑛}、{𝑐𝑛}、自某項起恆有 𝑎𝑛≤𝑏𝑛≤𝑐𝑛、且 lim𝑛→∞𝑎𝑛=lim𝑛→∞𝑐𝑛=𝐿、則必有 lim𝑛→∞𝑏𝑛=𝐿 也．

命題 1.
（夾逼定理）

設數列 {𝑎𝑛}、{𝑏𝑛}、{𝑐𝑛} 滿足

(∃𝑁∈ℕ∗)(∀𝑛>𝑁)𝑎𝑛≤𝑏𝑛≤𝑐𝑛
(2)

若 lim𝑛→∞𝑎𝑛=lim𝑛→∞𝑐𝑛=𝐿、則 lim𝑛→∞𝑏𝑛=𝐿．

證.

以極限定義證之．設 ∀𝜀>0、因 lim𝑛→∞𝑎𝑛=𝐿、故

(∃𝑁1∈ℕ∗)(∀𝑛>𝑁1)|𝑎𝑛−𝐿|<𝜀
(3)

即 𝐿−𝜀<𝑎𝑛<𝐿+𝜀．同理、因 lim𝑛→∞𝑐𝑛=𝐿、故

(∃𝑁2∈ℕ∗)(∀𝑛>𝑁2)|𝑐𝑛−𝐿|<𝜀
(4)

即 𝐿−𝜀<𝑐𝑛<𝐿+𝜀．

取 𝑁0=max{𝑁,𝑁1,𝑁2}、則當 𝑛>𝑁0 時有

𝐿−𝜀<𝑎𝑛≤𝑏𝑛≤𝑐𝑛<𝐿+𝜀
(5)

故 |𝑏𝑛−𝐿|<𝜀、即 lim𝑛→∞𝑏𝑛=𝐿． ∎

若數列 {𝑏𝑛} 之極限難可詳悉、但得覓取上下夾逼之數列 {𝑎𝑛} 與 {𝑐𝑛}、則可藉求 {𝑎𝑛} 與 {𝑐𝑛} 之極限而得 {𝑏𝑛} 之極限也．

例以議之．

例 1.

請證

lim𝑛→∞sin𝑛𝑛=0
(6)

蓋 |sin𝑛|≤1、故

−1𝑛≤sin𝑛𝑛≤1𝑛
(7)

而 lim𝑛→∞1/𝑛=lim𝑛→∞(−1/𝑛)=0、由夾逼定理知 lim𝑛→∞sin𝑛𝑛=0 也．

夾逼定理不獨用於數列、亦可推廣於函數極限．設函數 𝑓(𝑥)、𝑔(𝑥)、ℎ(𝑥) 於點 𝑥0 之某鄰域內（或去心鄰域內）滿足 𝑓(𝑥)≤𝑔(𝑥)≤ℎ(𝑥)、且 lim𝑥→𝑥0𝑓(𝑥)=lim𝑥→𝑥0ℎ(𝑥)=𝐿、則 lim𝑥→𝑥0𝑔(𝑥)=𝐿 也．

極限之代數運算

極限之加減乘除是也．設以 lim𝑛→∞𝑎𝑛=𝐿、lim𝑛→∞𝑏𝑛=𝑀、由定義知 ∀𝜀>0

(∃𝑁𝑎∈ℕ∗)(∀𝑛>𝑁𝑎)|𝑎𝑛−𝐿|<𝜀∧(∃𝑁𝑏∈ℕ∗)(∀𝑛>𝑁𝑏)|𝑏𝑛−𝑀|<𝜀
(8)

故而 |−𝑎𝑛−(−𝐿)|=|𝑎𝑛−𝐿|<𝜀、是以

lim𝑛→∞(−𝑎𝑛)=−𝐿
(9)

也．設 𝑁≔max{𝑁𝑎,𝑁𝑏}、以三角不等式

|𝑎𝑛+𝑏𝑛−(𝐿+𝑀)|≤|𝑎𝑛−𝐿|+|𝑏𝑛−𝑀|<2𝜀
(10)

故而

lim𝑛→∞(𝑎𝑛+𝑏𝑛)=𝐿+𝑀
(11)

並由

lim𝑛→∞(−𝑎𝑛)=−𝐿
(11)

可知 lim𝑛→∞(𝑎𝑛−𝑏𝑛)=𝐿−𝑀 也．

此所以極限之代數運算效也．

|𝑎𝑛𝑏𝑛−𝐿𝑀|
(12)