論級數

級數論

級數者、數列之累和也．累數列 ${𝑎_{𝑛}}$ 前 $𝑛$ 項之和、名曰 $𝑠_{𝑛} = \sum_{𝑘 = 0}^{𝑛} 𝑎_{𝑘}$ ．則記

\sum_{𝑛 = 0}^{\infty} 𝑎_{𝑛} ≔ \lim_{𝑛 \to \infty} 𝑠_{𝑛}

(1)

爲無窮級數、畧作級數．其中凡 $𝑎_{𝑛} > 0$ 者、謂之正項級數．若 $𝑠_{𝑛}$ 收斂即曰級數收斂． $𝑠_{𝑛}$ 發散即謂之級數發散．

命題 1.

凡級數 $\sum_{𝑛 = 0}^{\infty} 𝑎_{𝑛}$ 之收斂者

\lim_{𝑛 \to \infty} 𝑎_{𝑛} = 0

(2)

證.

不妨設 $\sum_{𝑛 = 0}^{\infty} 𝑎_{𝑛} = 𝐿$ 、 $𝑠_{𝑛} = \sum_{𝑘 = 0}^{𝑛} 𝑎_{𝑘}$ 收斂於 $𝐿$ ．然則由極限定義知、於凡正數 $𝜀 > 0$ 之中、必存有一自然數 $𝑁$ 、而凡自然數 $𝑛$ 之 $𝑛 > 𝑁 + 1$ 者

| 𝑠_{𝑛 - 1} - 𝐿 | < \frac{𝜀}{2}

(3)

然則

| 𝑠_{𝑛} - 𝐿 | < \frac{𝜀}{2}

(4)

又因 $𝑠_{𝑛} = 𝑠_{𝑛 - 1} + 𝑎_{𝑛}$ 、故 $\forall 𝑛 > 𝑁$

| 𝑠_{𝑛} - 𝐿 - (𝑠_{𝑛 - 1} - 𝐿) | \leq | 𝑠_{𝑛} - 𝐿 | + | 𝑠_{𝑛 - 1} - 𝐿 | < 𝜀

(5)

故 $\lim_{𝑛 \to \infty} 𝑎_{𝑛} = 0$ ． ∎

欲料反之然否、請道以下例．

例 1.

（調和級數）

調和級數者、形如 $\sum_{𝑛 = 1}^{\infty} 1 / 𝑛$ 之級數也．雖 $1 / 𝑛 \to 0$ 於 $𝑛 \to \infty$ 、然其級數發散．請證以比較審斂法：

\sum_{𝑛 = 1}^{\infty} \frac{1}{𝑛} = 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \frac{1}{4} + \frac{1}{5} + \frac{1}{6} + \frac{1}{7} + \frac{1}{8} + \dots

(6)

分組而計：

\begin{matrix} 原式 & = 1 + \frac{1}{2} + (\frac{1}{3} + \frac{1}{4}) + (\frac{1}{5} + \frac{1}{6} + \frac{1}{7} + \frac{1}{8}) + \dots \\ > 1 + \frac{1}{2} + (\frac{1}{4} + \frac{1}{4}) + (\frac{1}{8} + \frac{1}{8} + \frac{1}{8} + \frac{1}{8}) + \dots \\ = 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{2} + \frac{1}{2} + \dots \end{matrix}

(7)

無界而知其發散也．此為 Nicole Oresme 於十四世紀所證也．

有諸據可以斷級數之斂散．請道其詳．

之方程式曰 $𝑛$ 階常係數差分方程．特稱 $𝑏 = 0$ 者爲齊次、否則爲非齊次．若有一列數 ${\hat{𝑥}}_{𝑛}$ 可令 $𝑥_{𝑛} = {\hat{𝑥}}_{𝑛}$ 滿足方程、則稱 ${\hat{𝑥}}_{𝑛}$ 爲方程之解．請探其性質．凡非齊次方程之解 ${{\hat{𝑥}}_{𝑛}}$ 、 ${{\hat{𝑦}}_{𝑛}}$ 、其和 ${{\hat{𝑥}}_{𝑛} + {\hat{𝑦}}_{𝑛}}$ 亦解矣

\sum_{𝑘 = 0}^{𝑛} 𝑎_{𝑘} Δ^{𝑘} (𝛼 {\hat{𝑥}}_{𝑘} + 𝛽 {\hat{𝑦}}_{𝑘}) = 𝛼 \sum_{𝑘 = 0}^{𝑛} 𝑎_{𝑘} Δ^{𝑘} {\hat{𝑥}}_{𝑘} + 𝛽 \sum_{𝑘 = 0}^{𝑛} 𝑎_{𝑘} Δ^{𝑘} {\hat{𝑦}}_{𝑘} = 0

(23)

Uwni'Space

級數論

檢比術

檢根術

常數 $e$

指數函數

差分方程論

論級數

級數論

檢比術

檢根術

常數 e

指數函數

差分方程論

常數 $e$