線性代數 - Uwni'Space

吾輩昔由具象而習線性代數、如解聯立方程、矩陣之運算之屬．茲章將述線性空間之義：此乃向量與矩陣之抽象也．或將問曰：「何為必學斯抽象之物？」試觀下例自明其故．

中學已識向量：如位移、速度、力等．初視向量、多作二三分量、表平面或空間之一點．及習線性代數、乃知如 $(1, 2, 3, 4, 5)$ 亦可名向量、雖其形象難以具現耳．

夫自舊義之向量而遷於任意多分量者、抽象也；抽象既成、能所及者廣、而形象或失．此講將更進一層、復抽其義、以得諸類共相之性．

先追憶自 $ℝ^{3}$ 抽而至 $ℝ^{𝑛}$ 之程．今將以較嚴正之辭、為爾熟其代數之構．

記 $(𝑎, 𝑏, 𝑐, 𝑑)$ 者、向量乎？非也．此不過元組、即有序之有限列而已（亦可由有序對構之）．人多習以為向量、蓋因其上可自然而定加法與數乘耳；惟有元組之形而未立運算、則無所作為．譬如以 Python 行 (1, 2, 3) + (1, 2, 3)、其返 (1, 2, 3, 1, 2, 3)；而紙上書 $(1, 2, 3) + (4, 5, 6)$ 、讀者自以為 $(1 + 4, 2 + 5, 3 + 6)$ ．此以編程語言中符號 + 乃接續之義、而座標空間則逐個相加也．是知用符號、宜先明其義；弗然、易致紛紜．故曰：元組非向量；惟於其上立向量之構、然後可名向量．

向量之用

還論向量．力可分解為兩互正交之分量、用以析力學題、此皆以力為向量故也．同理、正弦訊號

𝐴 \cos (𝜔 𝑡 + 𝜑) = (𝐴 \cos 𝜑) \cos (𝜔 𝑡) - (𝐴 \sin 𝜑) \sin (𝜔 𝑡)

(1)

亦可分為 $\cos (𝜔 𝑡)$ 與 $\sin (𝜔 𝑡)$ 二分量、常以星座圖示之．二事相似、可覺．是以吾儕所欲者、立一結構、可以統御凡此類同之境．

由是觀之：「有列似向量」非充要也：列之加法未必為向量之加法、且非常列之物——如函數、多項式——亦可行向量之道．然則何謂向量？當先介域、以資立線性空間之本．

域之緒論

凡數學之基、以集為始．設有集 $𝑆$ 、惟有其名而無術、事難進．故欲於 $𝑆$ 上立二元運算、即函數 $𝑆 \times 𝑆 \to 𝑆$ 也．二元運算者、謂 $𝐴 : 𝑆 \times 𝑆 \to 𝑆$ 之函數也．

例 1.

（二元運算）

$ℝ$ 上之 $+, -, \times$ （問： $/$ 是否二元運算？）
集上之 $\cup, \cap$ （問： $\subseteq, \subset$ 為二元運算乎？）
${⊤, ⊥}$ 上之 $\land, \lor, \oplus$ （問： $\neg$ 為二元運算乎？）

域者、集 $𝑆$ 與二運算 $+$ 、 $\cdot$ 所成之構、使凡 $𝑎, 𝑏, 𝑐 \in 𝑆$ 皆滿足：

加法結合律： $(𝑎 + 𝑏) + 𝑐 = 𝑎 + (𝑏 + 𝑐)$
加法交換律： $𝑎 + 𝑏 = 𝑏 + 𝑎$
加法單位元： $𝑎 + 0 = 𝑎$
加法之逆元： $\forall 𝑎, \exists 𝑏, 𝑎 + 𝑏 = 0$
乘法結合律： $(𝑎 \cdot 𝑏) \cdot 𝑐 = 𝑎 \cdot (𝑏 \cdot 𝑐)$
乘法交換律： $𝑎 \cdot 𝑏 = 𝑏 \cdot 𝑎$
乘法單位元： $𝑎 \cdot 1 = 𝑎$
乘法之逆元： $𝑎 \neq 0 \to \exists 𝑏, 𝑎 \cdot 𝑏 = 1$
分配律： $𝑎 \cdot (𝑏 + 𝑐) = 𝑎 \cdot 𝑏 + 𝑎 \cdot 𝑐$

證.(

0 + 𝑎 = 𝑎

)

由加法交換律可知矣． ∎

前四條構 $(𝑆, +)$ 為阿貝爾群．故亦可言：域者、 $(𝑆, +)$ 與 $(𝑆 ∖ {0}, \cdot)$ 皆阿貝爾群、且乘法對加法分配也．

例 2.

（域之例）

$ℚ$ （有理數）
$ℝ$ （實數）
$ℂ$ （複數）

而 $ℤ$ 非域、蓋非零元素無乘法逆（如 $1 / 2 \notin ℤ$ ）； $ℕ$ 非群、又況域乎（讀者可檢群之所謂而辨其故）．

向量空間

定義 1.

（向量空間）

向量空間 $𝑉$ 於域 $𝔽$ 者、設集 $𝑉$ （其元曰向量）與域 $𝔽$ （其元曰純量）、並二運算：向量加法： $+ : 𝑉 \times 𝑉 \to 𝑉$ 純量乘法： $\cdot : 𝔽 \times 𝑉 \to 𝑉$ 使凡 $𝒖, 𝒗, 𝒘 \in 𝑉$ 、 $𝑎, 𝑏 \in 𝔽$ 、皆有：

結合： $(𝒖 + 𝒗) + 𝒘 = 𝒖 + (𝒗 + 𝒘)$
交換： $𝒖 + 𝒗 = 𝒗 + 𝒖$
加法單位： $\exists 𝟎 \in 𝑉, 𝒗 + 𝟎 = 𝒗$
加法逆元： $\forall 𝒗, \exists 𝒘, 𝒗 + 𝒘 = 𝟎$
數乘結合： $𝑎 (𝑏 𝒗) = (𝑎 𝑏) 𝒗$
數乘單位： $1 𝒗 = 𝒗$
對向量加之分配： $𝑎 (𝒖 + 𝒗) = 𝑎 𝒖 + 𝑎 𝒗$
對純量加之分配： $(𝑎 + 𝑏) 𝒗 = 𝑎 𝒗 + 𝑏 𝒗$

於是可答「何為向量」之問：向量者、向量空間之一元也；其所以為向量、全由上八公理界定．

例 3.

（

ℝ^{𝑛}

）

最熟之例： $ℝ^{𝑛} = {(𝑥_{1}, \dots, 𝑥_{𝑛}) 𝑥_{𝑖} \in ℝ}$ 於 $ℝ$ ．

$(𝑥_{1}, \dots, 𝑥_{𝑛}) + (𝑦_{1}, \dots, 𝑦_{𝑛}) = (𝑥_{1} + 𝑦_{1}, \dots, 𝑥_{𝑛} + 𝑦_{𝑛})$
$𝑎 \cdot (𝑥_{1}, \dots, 𝑥_{𝑛}) = (𝑎 𝑥_{1}, \dots, 𝑎 𝑥_{𝑛})$
加法單位： $(0, \dots, 0)$
加法逆： $(- 𝑥_{1}, \dots, - 𝑥_{𝑛})$

例 4.

（多項式）

𝒫_{𝑛} (ℝ) = {𝑎_{0} + 𝑎_{1} 𝑥 + \dots + 𝑎_{𝑛} 𝑥^{𝑛} 𝑎_{𝑖} \in ℝ}

(2)

加：係數逐項相加
數乘：係數逐項乘以純量
加法單位： $0 + 0 𝑥 + 0 𝑥^{2} + \dots$
加法逆：係數取負

例 5.

（函數空間）

設 $𝔽^{𝑆}$ 為 $𝑆 \to 𝔽$ 之全體．定

$(𝑓 + 𝑔) (𝑥) = 𝑓 (𝑥) + 𝑔 (𝑥)$
$(𝑐 \cdot 𝑓) (𝑥) = 𝑐 \cdot 𝑓 (𝑥)$
$0 (𝑥) = 0$ 、 $(- 𝑓) (𝑥) = - 𝑓 (𝑥)$

則 $𝔽^{𝑆}$ 於 $𝔽$ 為向量空間．

例 6.

（連續函數）

令

𝐶 (𝐼) = {𝑓 \in 𝔽^{𝐼} | (\forall 𝑥_{0} \in 𝐼) \lim_{𝑥 \to 𝑥_{0}} 𝑓 (𝑥) = 𝑓 (𝑥_{0})}

(3)

以連續之性閉於加法與數乘、故 $𝐶 (𝐼)$ 亦為向量空間．更進而 $𝐶^{1} (𝐼), 𝐶^{𝑛 (𝐼)}$ （導數至 $1$ 次、 $𝑛$ 次皆連續）皆同．

例 7.

（線性微分方程之解）

方程

{𝑦 \in 𝔽^{𝐼} | 𝑦^{(𝑛)} + 𝑎_{𝑛 - 1} 𝑦^{(𝑛 - 1)} + \dots + 𝑎_{1} 𝑦^{'} + 𝑎_{0} 𝑦 = 0}

(4)

之全體解、於 $𝔽$ 成向量空間；其加法與數乘同．

基本性質

命題 1.

（加法單位之唯一）

向量空間之加法單位唯一．

證.

若

𝟎_{1}, 𝟎_{2}

皆為加法單位、則

𝟎_{1} + 𝟎_{2} = 𝟎_{1}

又

𝟎_{2} + 𝟎_{1} = 𝟎_{2}

、以交換律得

𝟎_{1} = 𝟎_{2}

． ∎

命題 2.

（加法逆元之唯一）

每向量之加法逆唯一．

證.

設 $𝒘, 𝒘^{'}$ 皆為 $𝒗$ 之加法逆、則

𝒘 = 𝒘 + 𝟎 = 𝒘 + (𝒗 + 𝒘^{'}) = (𝒘 + 𝒗) + 𝒘^{'} = 𝟎 + 𝒘^{'} = 𝒘^{'} .

(5)

∎

命題 3.

0 𝒗 = 𝟎

．

證.

0 𝒗 = (0 + 0) 𝒗 = 0 𝒗 + 0 𝒗

．以加法逆消之、得

0 𝒗 = 𝟎

． ∎

命題 4.

𝑎 𝟎 = 𝟎

、凡

𝑎 \in 𝔽

．

證.

𝑎 𝟎 = 𝑎 (𝟎 + 𝟎) = 𝑎 𝟎 + 𝑎 𝟎

．移項得

𝑎 𝟎 = 𝟎

． ∎

命題 5.

(- 1) 𝒗 = - 𝒗

．

證.

𝒗 + (- 1) 𝒗 = (1 + (- 1)) 𝒗 = 0 𝒗 = 𝟎

、故

(- 1) 𝒗

為

𝒗

之加法逆． ∎

子空間

定義 2.

（子空間）

𝑈 \subseteq 𝑉

、若以與

𝑉

同之純量域、加法單位、加法及數乘、使

𝑈

自成向量空間、則謂

𝑈

為

𝑉

之子空間．

命題 6.

$𝑈 \subseteq 𝑉$ 為子空間、當且僅當：

$𝟎 \in 𝑈$
封閉於加法： $𝒖, 𝒗 \in 𝑈 \Rightarrow 𝒖 + 𝒗 \in 𝑈$
封閉於數乘： $𝒗 \in 𝑈, 𝑎 \in 𝔽 \Rightarrow 𝑎 𝒗 \in 𝑈$

證.

直由定義可知．反向：若滿三條、則

- 𝒖 = (- 1) 𝒖 \in 𝑈

、加法逆具足；結合、交換等律由

𝑉

繼承．故

𝑈

為向量空間． ∎

例 8.

（子空間）

(過原點之直線) 於 $ℝ^{2}$ 、凡過原點之直線皆子空間．如

$𝑈 = {(𝑥, 𝑦) \in ℝ^{2} | 𝑦 = 2 𝑥} = {(𝑡, 2 𝑡) | 𝑡 \in ℝ}$
(6)
(偶/奇函數) 於 $𝔽^{𝑆}$ 、偶（或奇）函數之全體為子空間：含零函數；加法、數乘仍為偶（或奇）．
(連續函數) $𝐶 (𝐼) \subseteq 𝔽^{𝐼}$ 為子空間：零函數在其中；加法、數乘下仍連續．
(齊次線性微分方程之解) 見：零解在其內；解之和仍為解；純量乘亦然．故為子空間．

子空間之和

定義 3.

（子空間之和）

$𝑈, 𝑊 \subseteq 𝑉$ 、其和定為

𝑈 + 𝑊 ≔ {𝒖 + 𝒘 𝒖 \in 𝑈, 𝒘 \in 𝑊} .

(7)

須辨： $𝑈 \cup 𝑊$ 非 $𝑈 + 𝑊$ ；前者僅合併元素、未必為空間、後者自成向量空間、含兩者一切可加之和．

例 9.

於 $ℝ^{2}$ 、令 $𝑈 = {(𝑥, 0)}$ 、 $𝑊 = {(0, 𝑦)}$ 、則

𝑈 + 𝑊 = {(𝑥, 𝑦) 𝑥, 𝑦 \in ℝ} = ℝ^{2},

(8)

而 $𝑈 \cup 𝑊$ 但為兩坐標軸之合、非向量空間．

命題 7.

（最小包含性）

子空間

𝑉_{1}, \dots, 𝑉_{𝑚}

之和

𝑉_{1} + \dots + 𝑉_{𝑚}

、為

𝑉

中最小之子空間、且包含各

𝑉_{𝑘}

．

證.

可驗其含

𝟎

且對加法、數乘封閉、故為子空間；各

𝑉_{𝑘}

皆其中（取和時餘向量為

𝟎

即可）．凡含諸

𝑉_{𝑘}

之子空間、必含其有限和、故必含

𝑉_{1} + \dots + 𝑉_{𝑚}

．所證如是． ∎