論數集 - Uwni'Space

本章議數集之建構及諸性質．數集者、蓋數之集合也．數集之有、始於自然數．自然數之有、始於人數物之需．人數物以計其數、故有自然數也．自然數者、其性自然．人之所創者、記號而已矣．今之數學需以形式論理之、故欲明自然數之義、必議以公理．

數學之發展、非獨賴自然數也．蓋自然數之有、猶樹之有根本也．樹之有枝葉、賴根本而生也．數學之有他數集、賴自然數而立也．故分析學之始、必自自然數論也．

論自然數

公理 1.

（Peano 算數公理系統）

算數語言 $ℒ_{AR} = {0, 𝑆, =}$ , $0$ 常符也、曰「零」． $𝑆$ 一元函數符也、曰後繼． $=$ 等價關係也、曰「相等」． $𝑥, 𝑦, \dots$ 變元也．並以公理

(PA1) $\forall 𝑥, 𝑆 (𝑥) \neq 0$ ； $0$ 非後繼也
(PA2) $\forall 𝑥, \forall 𝑦, (𝑆 (𝑥) = 𝑆 (𝑦) \to 𝑥 = 𝑦)$ ；後繼相等則原數相等
(PA3) $𝜑 (0) \land \forall 𝑥 (𝜑 (𝑥) \to 𝜑 (𝑆 (𝑥))) \to \forall 𝑥 𝜑 (𝑥)$ 一階歸納法模式
- (PA3*) $\forall 𝜑 [𝜑 (0) \land \forall 𝑥 (𝜑 (𝑥) \to 𝜑 (𝑆 (𝑥))) \to \forall 𝑥 𝜑 (𝑥)]$ 二階歸納法原理

(PA1) ~ (PA3) 曰一階 Peano 公理．將 (PA3) 換為 (PA3*) 則曰二階 Peano 公理．後文所述皆用二階．至此、算數之構造初成矣．然加法、乘之義猶未立也． $ℒ_{AR}$ 外、加號 $+$ , 乘號 $\times$ , 小於號 $\leq$ 之義也、以中綴記遞歸立之如下：

定義 1.

（加法）

$𝑥 + 0 ≔ 𝑥$ ;加零得其數也
$𝑥 + 𝑆 (𝑦) ≔ 𝑆 (𝑥 + 𝑦)$ ;加後繼得和之後繼也

註：為了體現還原論的精神、我們這裡採用了 5 公理版本的基本 PA 公理系統、 $+$ , $\times$ 不在 $ℒ_{AR}$ 中．因此不能固然保證對於任何 $𝑥 + 𝑦$ 皆「有定義」、即表示 $ℒ_{AR}$ 中一項 (term)．此實良義也．蓋凡 $𝑥$ 、可證加法於 $𝑦$ 皆有定義．設 $𝑃 (𝑦) ≔ 𝑥 + 𝑦 有定義$ 、若 $𝑦 = 0$ 、則依 (1) 知有定義也．若 $𝑥 + 𝑦$ 有定義、則以 (2) 而 $𝑥 + 𝑆 (𝑦)$ 亦有定義．由 PA3 知全有定義也．

有關乘法之公理:

(PA8) $\forall 𝑥 (𝑥 \times 0 = 0)$ ;乘零得零也
(PA9) $\forall 𝑥, \forall 𝑦 (𝑥 \times 𝑆 (𝑦) = (𝑥 \times 𝑦) + 𝑥)$ ;乘後繼得

自然數集

在集合論中、 $ℒ_{AR}$ -結構之適 PA 公理系統者 Dedekind-Peano 結構也．定義「自然数集」．

定義 2.

（Dedekind-Peano 結構）

三元組 $𝔑 ≔ (ℕ, 0, 𝑆)$ 曰 Dedekind-Peano 結構、 $ℕ$ 論域也, $0 \in ℕ$ , $𝑆 : ℕ \to ℕ_{*} ≔ ℕ ∖ {0}$ 單射也、曰後繼函數．且

若 $𝑀$ 者 $ℕ$ 之子集含 $0$ 也．若 $(\forall 𝑛 \in 𝑀) 𝑆 𝑛 \in 𝑀$ 、則 $𝑀 = ℕ$ 也．

$𝑆^{𝔑}$ 之值域 $ℕ_{*}$ 也、使 PA1 成立、單射性使 PA2 成立．PA3 得以定義中之歸納性明也．

然則 $𝔑 ⊧ PA$ 、即此結構滿足 $PA 1 \sim PA 3^{*}$ ．凡 Dedekind-Peano 結構者皆 PA 之模型也．¹ 然則確有合 Dedekind-Peano 結構之造耶？「歸納集」是也、但此處不深究．而 Dedekind (1888) 证明了所有二階 Peano 算數的模型都同構的．即同构意义上只有一种自然数集．

察時針之刻、 $𝑁^{'} ≔ {🕛, 🕐, 🕑, 🕒, 🕓, 🕔, 🕕, 🕖, 🕗, 🕘, 🕙, 🕚}$ , $0^{'} ≔ 🕛$ ． $𝑆$ 進一時刻也．然則 $🕛 = 𝑆 🕚$ 、是以不適 $𝑁_{0}$ 而非 Dedekind-Peano 結構也．

又察下例、 $𝑁^{'} ≔ {♥, ♦, ♣, ♠}$ , $0^{'} ≔ ♥$ ．設 $𝑆$ 其義如下． $♦ = 𝑆 ♥ = 𝑆 ♠$ 違於 $𝑁_{1}$ 而非 Dedekind-Peano 結構之屬也．

$𝜈$ 滿射也．即 $\forall 𝑛 \in ℕ_{*}, \exists 𝑚 \in ℕ, 𝑆 𝑚 = 𝑛$

證.

設

𝑀 ≔ Im 𝜈 \cup {0} = {𝑛 \in ℕ_{*} | \exists 𝑛^{'} \in ℕ, 𝑆 𝑛^{'} = 𝑛} \cup {0}

．若

𝑚 \in 𝑀 \subseteq ℕ

𝑆 𝑚 \in Im 𝜈 \subseteq 𝑀

．由

𝑁_{1}

知

𝑀 = ℕ = ℕ_{*} \cup {0}

．以

0 \notin Im 𝜈

Im 𝜈 = ℕ_{*}

故

𝜈

滿射也． ∎

序

加法既立、則可定義自然數之序．

定義 3.

（序關係）

凡自然數

𝑛, 𝑚

、若有

𝑘 \in ℕ

使

𝑛 = 𝑚 + 𝑘

、則曰

𝑚

小於等於

𝑛

、記

𝑚 \leq 𝑛

．若

𝑘 \neq 0

、則曰

𝑚

小於

𝑛

、記

𝑚 < 𝑛

．

此序關係全序也、凡自然數皆可相較也．

證.

此序關係為全序、須證四性：

自反性 ( $𝑛 \leq 𝑛$ )：
由加法定義、 $𝑛 = 𝑛 + 0$ ．以 $0 \in ℕ$ 、故 $𝑛 \leq 𝑛$ 恆真．

反對稱性 ( $𝑚 \leq 𝑛$ 且 $𝑛 \leq 𝑚 \Rightarrow 𝑚 = 𝑛$ )：
若 $𝑚 \leq 𝑛$ 、則有 $𝑘_{1} \in ℕ$ 使 $𝑛 = 𝑚 + 𝑘_{1}$ ．
若 $𝑛 \leq 𝑚$ 、則有 $𝑘_{2} \in ℕ$ 使 $𝑚 = 𝑛 + 𝑘_{2}$ ．
代入得 $𝑚 = (𝑚 + 𝑘_{1}) + 𝑘_{2} = 𝑚 + (𝑘_{1} + 𝑘_{2})$ ．此式意味 $𝑘_{1} + 𝑘_{2} = 0$ ．二自然數之和為零、必二者皆零也、故 $𝑘_{1} = 0$ ．是以 $𝑛 = 𝑚 + 0 = 𝑚$ ．

傳遞性 ( $𝑙 \leq 𝑚$ 且 $𝑚 \leq 𝑛 \Rightarrow 𝑙 \leq 𝑛$ )：
若 $𝑙 \leq 𝑚$ 、則有 $𝑘_{1}$ 使 $𝑚 = 𝑙 + 𝑘_{1}$ ．
若 $𝑚 \leq 𝑛$ 、則有 $𝑘_{2}$ 使 $𝑛 = 𝑚 + 𝑘_{2}$ ．
代入得 $𝑛 = (𝑙 + 𝑘_{1}) + 𝑘_{2} = 𝑙 + (𝑘_{1} + 𝑘_{2})$ ．令 $𝑘_{3} = 𝑘_{1} + 𝑘_{2}$ 、則 $𝑘_{3} \in ℕ$ 、故 $𝑙 \leq 𝑛$ ．

完全性 ( $𝑚 \leq 𝑛$ 或 $𝑛 \leq 𝑚$ )：
此可用歸納法證之．固定 $𝑚 \in ℕ$ 、歸納于 $𝑛$ ．令命題 $𝑃 (𝑛) ≔ 𝑚 \leq 𝑛 \lor 𝑛 \leq 𝑚$ ．

基始： $𝑛 = 0$ ．
由加法定義、 $𝑚 = 0 + 𝑚$ ．故 $0 \leq 𝑚$ 恆為真．是以 $𝑃 (0)$ 成立．
歸納：設 $𝑃 (𝑛)$ 為真、即 $𝑚 \leq 𝑛$ 或 $𝑛 \leq 𝑚$ ．察 $𝑃 (𝑆 (𝑛))$ ．
- 若 $𝑚 \leq 𝑛$ 、則有 $𝑘$ 使 $𝑛 = 𝑚 + 𝑘$ ．故 $𝑆 (𝑛) = 𝑆 (𝑚 + 𝑘) = 𝑚 + 𝑆 (𝑘)$ ．是以 $𝑚 \leq 𝑆 (𝑛)$ ．此時 $𝑃 (𝑆 (𝑛))$
- 若 $𝑛 \leq 𝑚$ 、則有 $𝑘$ 使 $𝑚 = 𝑛 + 𝑘$ ．
  - 若 $𝑘 = 0$ 、則 $𝑚 = 𝑛$ ．故 $𝑆 𝑛 = 𝑆 𝑚 = 𝑚 + 𝑆 0$ 、則 $𝑚 \leq 𝑆 (𝑛)$ ．此時 $𝑃 (𝑆 𝑛)$ ．
  - 若 $𝑘 \neq 0$ 、則有 $𝑘^{'}$ 使 $𝑘 = 𝑆 (𝑘^{'})$ ． $𝑚 = 𝑛 + 𝑆 (𝑘^{'}) = 𝑆 (𝑛) + 𝑘^{'}$ ．是以 $𝑆 (𝑛) \leq 𝑚$ ．此時 $𝑃 (𝑆 (𝑛))$ ．

綜上、凡 $⊢ 𝑃 (𝑛) \to 𝑃 (𝑆 (𝑛))$ ．由是、據歸納公理、完全性得證． ∎

記數法

然加法既成、尚需記數之法以表之．吾人所習用者、十進位制也．蓋以十為基、逢十進一．所用數碼、印度-阿拉伯數字也、凡十、曰 ${0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}$ ．

定義 4.

（十進位表示法）

凡自然數 $𝑛 \in ℕ$ 、其十進位表示乃一字符串 $𝑠_{𝑘} 𝑠_{𝑘 - 1} \dots 𝑠_{1} 𝑠_{0}$ 、其中 $𝑠_{𝑖}$ 皆為數碼．此串之值、定義如下：

𝑛 = \sum_{𝑖 = 0}^{𝑘} 𝑠_{𝑖} \times 10^{𝑖}

(1)

其中 $10$ 為 $𝜈 (9)$ ．此式建立自然數與數碼串之對應．

此映射如何構造？可以遞歸為之．凡 $𝑛 \in ℕ$ 、其記數 $𝑓 (𝑛)$ 定義為：

若 $𝑛 < 10$ 、則 $𝑓 (𝑛)$ 為對應之數碼．如 $𝑓 (𝜈 (0))$ 為 "1"．
若 $𝑛 \geq 10$ 、則以帶餘除法可得 $𝑛 = 𝑞 \times 10 + 𝑟$ 、其中 $0 \leq 𝑟 < 10$ ．則 $𝑓 (𝑛)$ 為 $𝑓 (𝑞)$ 與 $𝑓 (𝑟)$ 之拼接．

若、欲求 $123$ 之表示．

$123 = 12 \times 10 + 3$
$12 = 1 \times 10 + 2$
$1 = 0 \times 10 + 1$

由是、 $𝑓 (123)$ 為 $𝑓 (12)$ 拼接 $𝑓 (3)$ 、即 $𝑓 (1)$ 拼接 $𝑓 (2)$ 再拼接 $𝑓 (3)$ 、終得 "123"．

至此、抽象之自然數集方有吾人熟識之形態．

論整數

相等關係

𝑎 - 𝑏 = 𝑐 - 𝑑 \Leftrightarrow 𝑎 + 𝑑 = 𝑏 + 𝑐

(2)

凡自然數 $𝑛$ 、察對射於 $ℕ \to {𝑛 - 0 | 𝑛 \in ℕ}$ 上者 $𝑛 \mapsto 𝑛 - 0$ ．知整數之形如 $𝑛 - 0$ 者同構於 $ℕ$ 也．故可以整數 $𝑛$ 記自然數 $𝑛 - 0$ 而無虞也．逆元

- 𝑎 ≔ 0 - 𝑎

(3)

分數論

相等關係

𝑎 / / 𝑏 = 𝑐 / / 𝑑 \Leftrightarrow 𝑎 𝑑 = 𝑏 𝑐

(4)

必有

(\exists 𝑥 / / 𝑦 \in [𝑎 / / 𝑏]) \gcd (𝑥, 𝑦) = 1

(5)

約式、或曰最簡分式、分式之子母互素者也．例如 $1 / 1$ 、 $2 / 3$ 、 $5 / 8$ ．以其子母皆最小、立爲 $ℚ / =$ 之代表元也．稠性: $𝑎$

實數論

請問、正方形之對角線長 $𝑙$ 幾何? 以勾股定理知 $𝑙^{2} = 2$ 、擬其長以一分數之約式 $𝑙 = 𝑝 / 𝑞$

\begin{matrix} 𝑙^{2} = 2 \Leftrightarrow 𝑝^{2} = 2 𝑞^{2} \Leftrightarrow 2 ∣ 𝑝^{2} \Leftrightarrow 2 ∣ 𝑝 \\ \Leftrightarrow \exists 𝑝^{'} (𝑝 = 2 𝑝^{'}) \Leftrightarrow 2 𝑝^{' 2} = 𝑞^{2} \Leftrightarrow 2 ∣ 𝑞^{2} \Leftrightarrow 2 ∣ 𝑞 \end{matrix}

(6)

$𝑝$ 與 $𝑞$ 皆偶數、而 $𝑝 / 𝑞$ 非約式也．故知 $𝑙$ 非分數之屬也．以Ἵππασος之初覺爲嚆矢、分數之遺缺始昭於天下矣．此所以分數不可以度量也．

另察一例、有集分數其平方皆小於 $2$ 者

ℚ_{< \sqrt{2}} ≔ {𝑥 \in ℚ | 𝑥^{2} < 2}

(7)

即知有上界也．而無上確界．擬以歸謬法證之：設其上確界爲 $\overset{̅}{𝑥}$ 、則 $\forall 𝑥 \in ℚ_{< \sqrt{2}}, \overset{̅}{𝑥} \geq 𝑥$ 、

\forall 𝜀 > 0, \exists 𝑦 \in ℚ_{< \sqrt{2}}, \overset{̅}{𝑥} - 𝜀 < 𝑦

(8)

由全序關係之三歧性知

若 ${\overset{̅}{𝑥}}^{2} = 2$ : 證偽
若 ${\overset{̅}{𝑥}}^{2} > 2$ 、需證明 $\exists 𝑦 \in ℚ_{< \sqrt{2}}, 𝑦 < \overset{̅}{𝑥}$ 、設 $𝑦 = \overset{̅}{𝑥} - 𝜀$ 、並使 $𝑦^{2} > 2$ ．即 $𝑦$ 爲上界而甚小耳．

${(\overset{̅}{𝑥} - 𝜀)}^{2} \geq 2 \Leftrightarrow {\overset{̅}{𝑥}}^{2} - 2 \overset{̅}{𝑥} 𝜀 + 𝜀^{2} > 2 \Leftarrow {\overset{̅}{𝑥}}^{2} - 2 \overset{̅}{𝑥} 𝜀 \geq 2 \Leftrightarrow 𝜀 \leq \frac{{\overset{̅}{𝑥}}^{2} - 2}{2 \overset{̅}{𝑥}}$
(9)

不妨取 $𝜀 = \frac{{\overset{̅}{𝑥}}^{2} - 2}{2 \overset{̅}{𝑥}}$ 、即爲證
若 ${\overset{̅}{𝑥}}^{2} < 2$ 、需證明 $\exists 𝑦 \in ℚ_{< \sqrt{2}}, 𝑦 > \overset{̅}{𝑥}$ 、設 $𝑦 = \overset{̅}{𝑥} + 𝜀$ ．即 $\overset{̅}{𝑥}$ 乃非上界耳．

$𝑦^{2} = {(\overset{̅}{𝑥} + 𝜀)}^{2} \leq 2 \Leftrightarrow {\overset{̅}{𝑥}}^{2} + 2 \overset{̅}{𝑥} 𝜀 + 𝜀^{2} < 2 \Leftarrow {\overset{̅}{𝑥}}^{2} + 2 \overset{̅}{𝑥} 𝜀 \leq 2 \Leftrightarrow 𝜀 \leq \frac{2 - {\overset{̅}{𝑥}}^{2}}{2 \overset{̅}{𝑥}}$
(10)

不妨取 $𝜀 = \frac{2 - {\overset{̅}{𝑥}}^{2}}{2 \overset{̅}{𝑥}}$ 、即爲證

故知 $ℚ_{< \sqrt{2}}$ 上確界之不存也．

二例．

ℚ_{< 2} ≔ {𝑥 \in ℚ | 𝑥^{2} < 4}

(11)

可知 $𝑥 \geq 2$ 皆上界也、而 $\sup ℚ_{< 2} = 2$ 也

凡 $𝑄$ 爲 $ℚ$ 上非空有上界子集、則定義為實數．全序集 $(𝑋, ⪯)$ ．若其非空子集之有上界者有上確界．曰序完備